อัตราส่วนต่อเนื่อง

อัตราส่วนต่อเนื่อง

  คือการเท่ากันของอัตราส่วน

 ที่สามารถเชื่อมโยงความสัมพันธ์กัน 

 ไปกับอัตราส่วนอื่นๆ และเิกิดความสัมพันธ์ใหม่

 ตัวอย่างที่ 1    อัตราส่วน ของวัสดุก่อสร้าง ที่สั่งเข้ามาขายในร้านมี อัตราส่วนดังนี้

               หิน      :     ทรายหยาบ             อัตราส่วน        1     :    2

  ทรายหยาบ    :     ทรายละเอียด         อัตราส่วน         2    :     5 

   หาอัตราส่วนของ    หิน    :  ทรายละเอียด

วิธีทำ

                                                                 หิน             :     ทรายหยาบ       

                   

                                               :                  
                                             ทรายหยาบ    :  ทรายละเอียด  
     


             :                              
 
    ( ช้อสังเกต  อัตราส่วน  ทรายหยาบ  ทั้งสองอัตราส่วน มีค่าเท่ากันคือเท่ากับ 2)                

 ดังนั้นจะได้ว่า

                                              

   อัตราส่วน ของวัสดุก่อสร้าง   

                                                    หิน         :     ทรายละเอียด        เท่ากับ    1 :  5

 ________________________________________________________________

ตัวอย่างที่ 2       อัตราส่วน ของการทำขนม   ที่สั่งซื้อมี อัตราส่วนดังนี้

           แป้ง         :     น้ำตาลทราย              อัตราส่วน        1     :    4

 น้ำตาลทราย     :     ผลไม้แห้ง                 อัตราส่วน         4    :     8 

   1.  หาอัตราส่วนของ          แป้ง           :        ผลไม้แห้ง     

  2.   ถ้า ใช้แป้ง    เป็น   7  เท่า ต้องใช้อัตราส่วน อื่น ๆเป็นอัตราส่วนเท่าใด 

   3.   หาอัตราส่วนของ                    แป้ง           :       อัตราส่วนทั้งหมด

   4.   หาอัตราส่วนของ      นำ้ตาลทราย           :       อัตราส่วนทั้งหมด

   5.   หาอัตราส่วนของ            ผลไม้แห้ง        :       อัตราส่วนทั้งหมด

วิธีทำ

 

    แป้ง         :     น้ำตาลทราย              อัตราส่วน        1     :    4

     :                

 น้ำตาลทราย     :     ผลไม้แห้ง                 อัตราส่วน         4    :     8 

                 
                
                

  (   ช้อสังเกต  อัตราส่วน  น้ำตาลทราย    ทั้งสองอัตราส่วน มีค่าเท่ากันคือเท่ากับ 4   )   

ดังนั้นจะได้ว่า

 

 

 

 

 

 

 

                                                

                                  

                                  

     -  ตอบคำถาม   ข้อ  1.    อัตราส่วนของ    แป้ง   :  ผลไม้แห้ง     ที่ได้ คือ  1  :   8

       ดังนั้น  

                      อัตราส่วนของ         

            แป้ง    :   น้ำตาลทราย     :    ผลไม้แห้ง  

               1          :             4           :         8

 ______________

    -  ตอบคำตอบ    ข้อ  2.    จากโจทย์ ต้องการทราบว่า ถ้่า ใช้แป้งเป็น  7  เท่า

ต้องใช้ส่วนผสมอื่นเท่าใด  ดังนั้น จะได้ว่า  

  อัตราส่วนของ     แป้ง      :   น้ำตาลทราย   :    ผลไม้แห้ง  

                      1      x     7     :       4    x    7        :      8     x    7  

                                       7     :             28            :           56 

 ได้อัตราส่วน  เมื่อเพิ่มแป้งเป็น 7 เท่าได้ คำตอบ  คือ 

        แป้ง   7  : น้ำตาลทราย  28  : ผลไม้แห้ง   56

______________

  -  ตอบคำถาม   ข้อ  3.    

          หาอัตราส่วนของ     แป้ง        :       อัตราส่วนทั้งหมด

      เรามาหาอัตราส่วนทั้งหมด  เนื่องจากเรารู้ว่า 

  อัตราส่วนของ      แป้ง           :       น้ำตาลทราย        :        ผลไม้แห้ง 

                                     1          :             4            :         8
                          อัตราส่วน  ทั้งหมด  คือ ผลรวมของอัตราส่วน    

         จะได้ว่า  อัตราส่วนทั้งหมด   คือ           1   +    4    +   8    =    13

  คำตอบ  ข้อ 3.  

                           คือ    อัตราส่วนของ

                          แป้ง  :   อัตราส่วนทั้งหมด

                       1          :        13

 ______________

 คำตอบ  ข้อ 4.  

                       คือ  หาอัตราส่วนของ

               น้ำตาลทราย   :  อัตราส่วนทั้งหมด

                              4      :    13

______________

คำตอบ  ข้อ 5.  

                                       หาอัตราส่วนของ

                    ผลไม้แห้ง    :   อัตราส่วนทั้งหมด

                             8         :       13

อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical induction) เป็นวิธีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์วิธีหนึ่ง

เนื้อหา

อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) คือการพิสูจน์สำหรับประโยคที่มีตัวแปรเป็นจำนวนนับ 

โดยการพิสูจน์อาศัยหลักที่ว่า ประโยคเริ่มต้นเป็นจริง (คือ P(1) เป็นจริง)
และถ้าเราสามารถแสดงว่า การพิสูจน์ค่าความจริงของประโยค P(n+1) เกิดจากค่าความจริงของประโยค P(n)
เราจะได้ว่า P(n) เป็นจริงทุกค่าของ n

Added by Annwinnie

หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n ให้ P(n) แทนข้อความที่เกี่ยวข้องกับ n
ถ้า     1)   P(1) เป็นจริง 

 และ   2)   สำหรับจำนวนเต็มบวก k ใดๆ ถ้า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k+1)  เป็นจริงด้วย
จะสรุปได้ว่า P(n) เป็นจริง สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n

เราลองเปรียบเทียบการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ กับการล้มของโดมิโน
ถ้าเราเอาโดมิโนมาตั้งเรียงเป็นแถวยาว แล้วเรารู้ว่า
1. โดมิโนตัวแรกล้ม
2. ไม่ว่า k จะเป็นอะไรก็ตาม ถ้าโดมิโนตัวที่ k ล้มแล้วโดมิโนตัวที่ k+1 ล้มด้วย เราก็จะรู้ว่า ตัวที่ 1 ล้มทำให้ตัวที่ 2 ล้ม ตัวที่ 2 ล้มทำให้ตัวที่ 3 ล้ม ตัวที่ 3 ล้มทำให้ตัวที่ 4 ล้ม ไปเรื่อยๆจนหมดแถว เราก็จะสรุปได้ว่าโดมิโนล้มทุกตัว
ทีนี้ลองมาดูการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์บ้าง เราจะพิสูจน์ว่า P(n) (ประพจน์ในตัวแปร n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ n
1. เราก็ต้องบอกว่าตัวแรกจริงก่อน ก็คือบอกว่า P(1) เป็นจริง [เหมือนเอา 1 ไปแทนที่ n] 2. สำหรับทุกๆ k ถ้าตัวที่ k จริงแล้วตัวที่ k+1 จริงด้วย ก็คือบอกว่า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k+1) จริงด้วย
ถ้าเราได้สองข้อนี้ก็จะสรุปได้ว่า P(n) จริงสำหรับทุกจำนวนนับ n

ตัวอย่าง จงพิสูจน์ว่า 1+3+5+7+…+(2n –1) = n² สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n

วิธีทำ ให้ P(n) แทนข้อความ 1+3+5+7+…+(2n – 1) = n² ……… (1)

1. จะพิสูจน์ P(1) เป็นจริง
                   เมื่อ n = 1 จะได้ว่า
                   ทางซ้ายมือของสมการ (1) คือ 1
         ทางขวามือของสมการ (1) คือ 12 = 1

ดังนั้น P(1) เป็นจริง

2. จะพิสูจน์ว่า ถ้า P(k) เป็นจริง แล้ว P(k+1) เป็นจริงด้วย
                   สมมติว่า p(k) เป็นจริง
                   นั่นคือ 1+3+5+…+(2k –1) = k2 ……… (2)
         จะพิสูจน์ว่า P(k+1) เป็นจริงด้วย กล่าวคือ จะพิสูจน์ว่า
                   1+3+5+…+[2(k + 1) – 1] = (k + 1)2 ……… (3)
         พิจารณาทางซ้ายมือของสมการ (3) จะได้ว่า
                   1+3+5+…+[2(k + 1) – 1] = 1+3+5+…+(2k – 1) + [2(k + 1) – 1]
          = k2 + [2(k + 1) – 1]
          = k2 + 2k + 1
          = (k + 1)2

ดังนั้น P(k + 1) เป็นจริง
     เพราะฉะนั้น   โดยหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ จะได้ว่า P(n) เป็นจริง สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n

Ex2 จงพิสูจน์ว่า n³ – n หารด้วย 3 ลงตัว สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n
วิธีทำ ให้ P(n) แทนข้อความ n³ - n หารด้วย 3 ลงตัว
1. จะแสดงว่า P(1) เป็นจริง
เมื่อ n = 1 จะได้ 1³ – 1 = 0 ซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น P(1) เป็นจริง
2. จะแสดงว่า ถ้า P(k) เป็นจริง แล้ว p(k) เป็นจริงด้วย
สมมติว่า ถ้า P(k) เป็นจริง นั่นคือ k³ - k หารด้วย 3 ลงตัว
จะพิสูจน์ว่า P(k + 1) เป็นจริง กล่าวคือ
จะพิสูจน์ว่า (k + 1)³ – (k + 1) หารด้วย 3 ลงตัว
เนื่องจาก k³ - k หารด้วย 3 ลงตัว
ดังนั้น ให้ k³ – k = 3a เมื่อ a เป็นจำนวนเต็ม
เพราะว่า (k + 1)³ – (k + 1) = (k³ + 3k² + 3k +1) – (k + 1)
= k³ + 3k² + 2k
= k³ –k + 3k² + 3k
= (k³ – k) + 3(k² + k)
= 3a + 3(k² + k)
= 3(a + k² + k)

เนื่องจาก a + k² + k เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า (k + 1)³ – (k + 1) หารด้วย 3 ลงตัว

ดังนั้น P(k + 1) เป็นจริง
     เพราะฉะนั้น   โดยหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ จะได้ว่า P(n) เป็นจริง สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n

จำนวนตรรกยะและอตรรกยะ

จำนวนตรรกยะ

     ในทางคณิตศาสตร์, จำนวนตรรกยะ (หรือเศษส่วน) คืออัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวน มักเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b ไม่เท่ากับศูนย์

     จำนวนตรรกยะแต่ละจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปแบบที่หลากหลาย ตัวอย่างเช่น 3 / 6 = 2 / 4 = 1 / 2 รูปแบบที่เรียกว่า  เศษส่วนอย่างต่ำ a และ b นั้น a และ b จะต้องไม่มีตัวหารร่วม และจำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำนี้

     ทศนิยม เป็นรูปแบบที่แผ่ขยายออกมา และต่อเนื่องไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด (ยกเว้นกรณีซ้ำศูนย์ เราสามารถละ โดยไม่ต้องเขียนได้) ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนตรรกยะทุกจำนวน

    จำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ เรียกว่า จำนวนอตรรกยะ

แผนภูมิจำนวนจริง

จำนวนตรรกยะ

     จำนวนอตรรกยะ(irrational Number) คือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษ ส่วนa/b เมื่อa และbเป็นจำนวนเต็มโดยที่

bไม่เท่ากับ 0 หรือจำนวน อตรรกยะคือจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะนั่นเองจำนวนอตรรกยะจำแนกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ใหญ่คือ

1.จำนวนติดกรณ์บางจำนวนเช่นเป็นต้น

2.จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำเช่น 5.18118168473465

หมายเหตุpซึ่งประมาณได้ด้วย 22/7 แต่จริงๆแล้วpเป็นเลข

    ในการศึกษาเรื่องของจำนวนจริง เราแบ่งจำนวนจริงออกได้เป็น 2 ประเภท คือ จำนวนตรรกยะ และ จำนวนอตรรกยะ จำนวนตรรกยะคือจำนวนที่สามารถเขียนได้ในรูปของทศนิยมรู้จบหรือทศนิยมแบบไม่ รู้จบแบบซ้ำได้Pi เป็นจำนวนจริงที่มีค่าเท่ากับอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมกับเส้นผ่าน ศูนย์กลางของวงกลม โจนส์ (William Jones) เป็นบุคคลแรกที่นำเอาอักษรกรีก Pi มาใช้ โดยให้มีค่าเท่ากับ อัตราส่วนดังกล่าว ซึ่งท่านนำมาใช้ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1706 ในหนังสือ A New Introduction to the Mathematics แต่ยังไม่เผยแพร่จนกระทั่ง ออยเลอย์ (Leonhard Euler) ได้นำเอาการกำหนดค่าของ Pi ดังกล่าวมาใช้ในงานของท่านมากมาย จนกระทั่งเป็นที่ยอมรับและใช้กันมาจนถึงทุกวันนี้

          ถ้าเราย้อนไปดูอดีตของความพยายามในการหาค่าของอัตราส่วนของเส้นรอบวงกลมกับ เส้นผ่านศูนย์กลางเราจะ  พบว่าในสมัยเริ่มต้นค่านี้จะถูกประมาณด้วย 3 ชาวอิยิปต์ให้ค่า Pi ไว้ เท่ากับ 3.1604 อาร์คีมีดีส (Archimedes) ได้ให้ของเขตของค่า Pi ไว้ว่า ค่า Pi จะมีค่าอยู่ระหว่าง 22/7 กับ 223/71 ซึ่งให้ความถูกต้องของค่า Piไ ด้ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 2ว่ามีค่าเท่ากับ 3.14 สำหรับวิธีที่    อาร์คีมีดีสใช้เป็นวิธีการเพิ่มจำนวนรูปหลายเหลี่ยมลงในวงกลม วิธีดังกล่าวได้ถูกนักคณิตศาสตร์ท่านอื่นมาปรับปรุงเพื่อใช้หาค่า Pi ที่ถูกต้องมากยิ่งขึ้น นอกจากนี้ยังมีวิธีอื่นๆ รวมทั้งการใช้คอมพิวเตอร์ในการคำนวณหาค่า นอกจากความพยายามในการหาค่าที่แท้จริงของค่า Pi แล้วก็ยังมีนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ชื่อลัมแบร์ต (Johann Heinrich Lambert) ได้พิสูจน์ว่า Pi เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยที่ท่านได้แสดงการพิสูจน์ว่า ถ้า x เป็นจำนวนตรรกยะที่ไม่เท่ากับศูนย์ แล้ว tan x ต้องไม่เป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจาก tan = 1 ผลที่ตามมาก็คือ Pi/4 หรือ Pi ต้องไม่เป็นจำนวนตรรกยะ

           อย่างไรก็ตามจากบทความของ Dr. Tomaczewski ผู้อำนวยการ The Advanced Computer Numerics Foundation ในรัฐโคโลราโด ประเทศสหรัฐอเมริกาได้แถลงว่า สถาบันแห่งนี้ได้พัฒนาโปรแกรมในการหาค่าของ Pi ผลที่ได้จากเครื่องคอมพิวเตอร์พบว่า ค่าของ นี้จะสิ้นสุดลงที่ตำแหน่ง 2,075,932,542,102 โดยที่เครื่องคอมพิวเตอร์ได้พิมพ์เลขศูนย์เป็นจำนวนหลายล้านตัวหลังจาก ทศนิยมในตำแหน่งดังกล่าว เขาจึงเชื่อว่า เป็นจำนวนตรรกยะ

           นักคณิตศาสตร์หลายท่านคงไม่ยอมรับการพิสูจน์ว่าเป็นจำนวนตรรกยะโดยใช้ เครื่องคอมพิวเตอร์ดังที่กล่าวมาแต่การแถลงการณ์ของ Dr. Tomaczewski ทำให้เราทราบความคืบหน้าอีกก้าวหนึ่งในวงการคณิตศาสตร์

ภาคตัดกรวย

ภาคตัดกรวย

ภาคตัดกรวย เป็นศัพท์บัญญัติ จากคำว่า “conic section” ซึ่งคำว่า conic เป็นคำคุณศัพท์ที่มาจากคำว่า “cone” ที่แปลว่ากรวย
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic) ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวยกลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนี้ถูกตั้งเป็นหัวข้อศึกษาตั้งแต่สมัย 200 ปีก่อนคริสต์ศักราชโดย อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผู้ซึ่งศึกษาภาคตัดกรวยและค้นพบสมบัติหลายประการของภาคตัดกรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูกนำไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133 (ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิงขึ้นไปในมุมที่กำหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพาราโบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์ พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็นรูปวงรี เป็นต้น

ชนิดของภาคตัดกรวย

วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิด (เป็นวง) วงกลมนั้นถือเป็นกรณีพิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัดกรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรือเรียก เส้นกำเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรียกว่า พาราโบลา หากระนาบไม่อยู่ในแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิดไม่เป็นวง จะเรียกเส้นโค้งนี้ว่า ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้ว่าในกรณีนี้ระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่งบน และครึ่งล่าง ได้เป็นเส้นโค้งที่ขาดจากกันสองเส้น
ในกรณีที่เรียกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจนเนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย และได้ผลของการตัดเป็น จุด เส้นตรง หรือ เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณีเหล่านี้ไม่ได้ถูกรวมไว้ในภาคตัดกรวย
เส้นโค้งที่เกิดจาการตัดกรวย ประกอบด้วย

• วงกลม (Circle)
• วงรี (Ellipse)
• พาราโบลา (Parabola)
• ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola)

ภาคตัดกรวยจากทางเดินของจุด

แต่ละประเภทของภาคตัดกรวยนั้น สามารถนิยามโดยการใช้เส้นทางเดินของจุด โดยทุก ๆ จุด P บนเส้นทางเดิน จะต้องเป็นไปตามคุณสมบัติเฉพาะดังนี้

• วงกลม : ระยะ (P, C) = r โดยที่ C คือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
• พาราโบลา : ระยะ (P, F) = ระยะ (P, L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรียกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง กำหนดตายตัว และไม่ผ่านจุดโฟกัส เรียกว่า ไดเรกทริกซ์
• วงรี : ระยะ (P, A) + ระยะ (P, B) = d โดยที่ A, B เป็นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่านศูนย์กลางหลัก
• ไฮเพอร์โบลา : ระยะ (P, A) – ระยะ (P, B) = d โดยที่ A, B เป็นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ (A,B)

ความเยื้อง (Eccentricity)

ค่าความเยื้อง หรือ ค่าความเบี่ยงเบนจากศูนย์กลาง (eccentricity) ของภาคตัดกรวย เป็นค่าบ่งชี้ถึงความเบี้ยว หรือ เบี่ยงเบนไปจากความกลม โดยเมื่อความเยื้องมีค่าลดลง รูปร่างของภาคตัดกรวยที่ได้จะมีรูปร่างเข้าใกล้ทรงกลมมากขึ้น
ถ้าเส้นตรง L คือไดเรกทริกซ์ และ F คือ จุดโฟกัส ค่าความเยื้อง e หาได้จาก

โดยที่

• คือ ระยะทางจากจุด P ใดๆ บนภาคตัดกรวย ไปยังจุดโฟกัส F
• คือ ระยะทางจากจุด P ใดๆ บนภาคตัดกรวย ไปตั้งฉากกับไดเรกทริกซ์ L

รูปร่างของภาคตัดกรวยที่ได้ ขึ้นกับค่า e โดย

• 0 < e < 1เป็นรูปวงรี
• e = 1 เป็นรูปพาราโบลา
• e > 1 เป็นรูปไฮเพอร์โบลา

ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิตวิเคราะห์

รูปแสดงการตัดกรวยด้วยระนาดในแนวต่าง ๆ

บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียน กราฟของสมการสองตัวแปรกำลังสอง (quadratic equation) จะเป็นรูปภาคตัดกรวยเสมอ หากเราพิจารณาสมการที่อยู่ในรูป

แล้ว:

• ถ้า h² = ab แล้ว จะได้สมการของรูป พาราโบลา
• ถ้า h² < ab และ a b และ/หรือ h0 แล้ว จะได้สมการของรูป วงรี
• ถ้า h² > ab แล้ว จะได้สมการของรูป ไฮเพอร์โบลา
• ถ้า h² < ab and a = b and h = 0 แล้ว จะได้สมการของรูป วงกลม
• ถ้า a + b = 0 แล้ว จะได้สมการของรูป ไฮเพอร์โบลามุมฉาก

สมบัติทั่วไป

ภาคตัดกรวยนั้นมีรูปร่างที่มนสม่ำเสมอ ไม่มีจุดเปลี่ยนโค้ง (inflection point) ซึ่งเป็นสมบัติที่มีความสำคัญต่อการใช้งานหลายประเภท เช่น การใช้งานเกี่ยวกับแอโรไดนามิกส์ ซึ่งพื้นผิวนั้นจำเป็นต้องออกแบบเพื่อให้ของไหล ไหลผ่านอย่างสม่ำเสมอ (laminar flow) เพื่อป้องกันการเกิดการไหลทะลัก (turbulence)

การประยุกต์ใช้งาน

ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสำคัญต่อดารา ศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทำต่อกัน ตามกฏของนิวตัน นั้นจะมีรูปร่างเป็นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่วมของทั้งสองวัตถุนั้นอยู่นิ่ง หากทั้งสองนั้นถูกดึงดูดอยู่ด้วยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็นรูปวงรี หากวัตถุทั้งสองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็นรูปพาราโบลา หรือ ไฮเปอร์โบลา ดู ปัญหาวัตถุ N ชิ้น
ในเรขาคณิตเชิงภาพฉาย (projective geometry) นั้น ภาพฉายบนระนาบ ของภาคตัดกรวยแต่ละชนิดนั้นจะเหมือนกัน ขึ้นอยู่กับลักษณะการฉาย หรือที่เรียกว่า การแปลงเชิงภาพฉาย (projective transformation)

 มีคำศัพท์ที่กล่าวถึงส่วนประกอบต่างๆ ของภาคตัดกรวย ดังนี้

วงกลม Circle

ส่วนประกอบของวงกลม

บทนิยามเชิงเรขาคณิตของวงกลม:

วงกลม (Circle) คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะทางเท่ากัน

         

• จุดศูนย์กลาง Center
• รัศมี Radius
• เส้นรอบวง

วงรี Ellipse

ส่วนประกอบต่างๆ ของวงรี

บทนิยามเชิงเรขาคณิตของวงรี:

วงรี คือ เซตของจุดทุกจุดในระนาบ ซึ่งมีผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆ ในเซตนี้ไปยังจุดคงที่ F₁ และ F₂ มีค่าคงตัวเสมอ และมีค่ามากกว่าระยะทางระหว่างจุด F₁ และ F₂จุดคงที่ F₁ และ F₂ เรียกว่าโฟกัส (Focus) ของวงรี

         

• จุดยอด Vertex
• โฟกัส Focus
• จุดศูนย์กลาง Center
• แกนเอก Major Axis
• แกนโท Minor Axis
• จุดปลายแกนโท

พาราโบลา Parabola

ส่วนประกอบต่างๆ ของพาราโบลา

บทนิยามเชิงเรขาคณิตของพาราโบลา:

พาราโบลา (Parabola) คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่ง และห่างจากเส้นคงที่เส้นหนึ่งเป็นระยทางเท่ากัน
เรียกจุดคงที่ว่าจุดโฟกัส และเรียกเส้นคงที่ว่าเส้นกำกับ หรือเส้นไปเรกตริกซ์ (Directrix)

• โฟกัส Focus
• จุดยอด Vertex
• เลตัสเรกตัม Latus rectum
• เส้นบังคับ Directrix

ไฮเพอร์โบลา Hyperbola

ส่วนประกอบต่างๆ ของไฮเพอร์โบลา

บทนิยามเชิงเรขาคณิตของไฮเพอร์โบลา:

ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola) คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งผลต่างของระยะทางจากจุดใดๆ ในเซตนี้ไปยังจุดคงที่ 2 จุด มีค่าคงตัวเสมอ
เรียกจุดคงที่ 2 จุดนี้ว่าจุดโฟกัส

• โฟกัส Focus
  
• จุดยอด Vertex
• จุดศูนย์กลาง Center
• แกนสังยุค Conjugate Axis
• แกนตามขวาง Transverse Axis
• เลตัสเรกตัม Latus rectum
• เส้นบังคับ Directrix

ศัพท์อื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง

• พิกัดฉาก
• พิกัดคาร์ทีเชียน
• จุดกำเนิด Origin
• ความเยื้องศูนย์กลาง
• กรวย Cone