ตรรกศาสตร์

ตรรกศาสตร์ (Logic)

สังเขปพัฒนาการของตรรกศาสตร์

อริสโตเติ้ล (Aristotle, 384 – 322 ก่อนคริสตศักราช)

ตรรกศาสตร์ (หรือตรรกวิทยา) (Logic) คือวิชาที่ศึกษา เพื่อแยกการให้เหตุผลที่สมเหตุสมผล ออกจากการให้เหตุผลที่ไม่สมเหตุสมผล นักปราชญ์ซึ่งเรายอมรับว่าเป็นบิดาของวิชาตรรกศาสตร์ คือ อริสโตเติ้ล (Aristotle, 384 – 322 ก่อนคริสตศักราช) โดยอริสโตเติ้ล เชื่อว่ามนุษย์เท่านั้นที่สามารถคิดเกี่ยวกับเหตุและผลได้ ท่านได้เขียนตำราชื่อ Organum ซึ่งเกี่ยวกับการให้เหตุผลที่ถูกต้อง หลักการของหนังสือเล่มนี้กลายมาเป็นหลักการของตรรกศาสตร์เชิงอนุมาน (Deductive Logic) ปัจจุบัน

เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ (Bertrand Russell, ค.ศ.1872 – 1970)

ตรรกศาสตร์เชิงอนุมานได้รับการพัฒนาต่อมา โดยนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาชาวอังกฤษสองท่าน คือ เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ (Bertrand Russell, ค.ศ.1872 – 1970) และอัลเฟรด นอร์ท ไวท์เฮด (Alfred North Whitehead, ค.ศ.1861 – 1947) ได้ร่วมกันเขียนหนังสือชื่อ Principia Mathematica ตรรกวิทยาตามแนวของนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาทั้งสองท่านนี้
ปัจจุบันเรียกว่าตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ (Symbolic Logic) หรือตรรกศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Logic) หรือคณิตศาสตร์ตรรกนิยมรัสเซลล์ – ไวท์เฮด (Russell –

อัลเฟรด นอร์ท ไวท์เฮด (Alfred North Whitehead, ค.ศ.1861 – 1947)

Whitehead’s Logicism Mathematics) ซึ่งนักตรรกศาสตร์ในรุ่นต่อมาได้พัฒนาออกไปอีกเพื่อให้เป็นประโยชน์ในการ วิเคราะห์ทางปรัชญาและทางคณิตศาสตร์

จอร์จ บูล (George Boole, ค.ศ.1815 – 1864)

หนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่มีส่วนในการพัฒนาวิชาตรรกศาสตร์เป็นอย่างมาก ได้แก่ จอร์จ บูล (George Boole, ค.ศ.1815 – 1864) นักพีชคณิต และนักตรรกศาสตร์ชาวอังกฤษได้ค้นพบว่าสัญลักษณ์นิยมของพีชคณิต ไม่เพียงจะสามารถสร้างประโยคที่เกี่ยวของกับจำนวนได้เท่านั้น หากแต่ยังสามารถใช้ได้กับตรรกศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์ด้วย ในหนังสือของเขาชื่อ The Mathematical Analysis of Logic บูลได้พัฒนาความคิดเกี่ยวกับตรรกศาสตร์ ในปัจจุบันพีชคณิตแบบบูล (Boolean Algebra) มี ความสำคัญมากไม่เพียงแต่ในสาขาตรรกศาสตร์เท่านั้น แต่ยังมีความสำคัญทางเรขาคณิตของเซต ทฤษฎีของความน่าจะเป็น ตลอดจนสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ด้วย

คำศัพท์เกี่ยวกับตรรกศาสตร์

• ประพจน์ (Proposition หรือ Statement)
  ประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธ ที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่่านั้น
• ค่าความจริง (Truth Value)
  ใช้เรียกการเป็นจริงหรือเป็นเท็จของประพจน์ว่า “ค่าความจริงของประพจน์”
• ตัวเชื่อม (Connective)
• นิเสธ (Negative)
  นิเสธของประพจน์ p คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงข้ามกับประพจน์ p
  เขียนแทนนิเสธของ p ด้วย ~p
• รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน
  ประพจน์สองประพจน์ที่มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี กรณีต่อกรณี ในทางตรรกศาสตร์สามารถนำมาแทนกันได้
• ตารางค่าความจริง
• สัจนิรันดร์ (Tautology)
  รูปแบบของประพจน์ที่มีความความจริงเป็นจริงทุกกรณี
• การอ้างเหตุผล
• ประโยคเปิด (Open Sentence)
  ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร และไม่เป็นประพจน์ แต่เมื่อแทนตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้ว ข้อความนั้นจะเป็นประพจน์
• ตัวบ่งปริมาณ (Quantifier)
  วลีที่ใช้บอกจำนวนตัวแปรในประโยคเปิดว่ามีมากน้อยเพียงใด
  มีสองตัวคือ
  1.      บ่งปริมาณที่บอกจำนวนทั้งหมด   ใช้สัญลักษณ์… แทนข้อความ  สำหรับ…ทุกตัวฅ
  สำหรับแต่ละค่าของ… เช่น ถ้า P(x) แทนประโยคเปิดที่มี x เป็นตัวแปร
  สัญลักษณ์ “…x[P(x)] แทนข้อความสำหรับ x ทุกตัวซึ่งP(x)
  2.   ตัวบ่งปริมาณบอกจำนวนบางส่วน   ใช้สัญลักษณ์ … แทนข้อความ สำหรับ…บางตัว,  สำหรับบางค่าของ…,   มี…บางตัว/ค่า เช่นถ้า P(x) แทนประโยคเปิดที่มี x เป็นตัวแปร
  สัญลักษณ์…x[P(x)] แทนข้อความสำหรับ  x บางตัวซึ่งP(x)